オペアンプの積分回路

当記事では、「オペアンプ(OPアンプ/OP-Amp)の積分回路」について詳しく解説していきます。

積分回路は、オペアンプの反転増幅回路を応用したもので、帰還抵抗をコンデンサに置き換えると「完全積分回路」、帰還抵抗にコンデンサを並列接続すると「不完全積分回路」となります。

オペアンプの積分回路の特徴

「完全積分回路」と「不完全積分回路」にわけて、オペアンプの積分回路の特徴について解説していきます。

なお、今回、説明するオペアンプの積分回路は、オペアンプの反転増幅回路を応用したものなので、先に反転増幅回路について勉強しておいた方が理解がしやすいです。

オペアンプの反転増幅回路の詳しい解説は以下の記事をご覧下さい。

完全積分回路

$$V_{out}=-\frac{1}{CR} \int V_{in}dt$$
完全積分回路は、反転増幅回路の帰還抵抗が、コンデンサに置き換わった回路です。

上式の通り、$\frac{1}{CR}$の増幅率で、入力電圧$V_{in}$の積分値が増幅され、出力電圧$V_{out}$に出力されます。また、「$-$」の極性が表す通り、出力電圧$V_{out}$の信号は反転されます。

そのため、入力電圧$V_{in}$が直流の場合、積分回路の出力電圧$V_{out}$は時間の経過に比例して増加していきますが、オペアンプの取り扱いできる電圧上限の電源電圧で飽和します。

また、入力電圧$V_{in}$が交流の場合、周波数が高くなるにつれて利得が$-20[dB/dec](-6[dB/oct])$の傾きで減少していき、カットオフ周波数$f_C$の時点で$0[dB]$となります。

このように、直流電圧を入力すると、出力電圧が電源電圧の上限に飽和してしまい、交流電圧を入力すると、どの周波数帯でも利得が一定にならないことから、あまり実用で使われることはありません。

不完全積分回路

$$V_{out}=-\frac{R_2}{R_1}V_{in} \quad (f_{in} \ll f_C)$$

$$V_{out}=-\frac{1}{CR_1} \int V_{in}dt \quad (f_{in} \gg f_C)$$

$$f_C=\frac{1}{2πCR_2}$$

不完全積分回路は、反転増幅回路の帰還抵抗にコンデンサが並列接続された回路です。

上式の通り、入力周波数$f_{in}$がカットオフ周波数$f_C$より十分に小さい場合$(f_{in} \ll f_C)$は反転増幅回路、入力周波数$f_{in}$がカットオフ周波数$f_C$より十分に大きい場合$(f_{in} \gg f_C)$は完全積分回路として動作します。

主な使用方法としては、波形変換とローパスフィルタの用途があります。

波形変換は、積分領域$(f_{in} \gg f_C)$に入力して使います。

また、ローパスフィルタは、通過させたい信号を非積分領域$(f_{in} \ll f_C)$、除去したい信号を積分領域$(f_{in} \gg f_C)$に入力して使います。

オペアンプの完全積分回路の計算

オペアンプの完全積分回路の関係式を求めるために、回路各部の電圧の関係式から算出する精密計算と理想オペアンプをヌラーモデルに置き換えた簡易計算をします。

オペアンプの不完全積分回路については、「オペアンプの積分回路の特徴」-「不完全積分回路」で解説した通り、$f_{in} \ll f_C$は反転増幅回路の関係式、$f_{in} \gg f_C$は完全積分回路の関係式と覚えておきましょう。

精密計算1

オペアンプの回路図記号

オペアンプは、$V_+$と$V_-$の2つの入力電圧の電位差をオープンループゲイン$A_{OL}$(開放利得$A_{OL}$)で増幅します。
$$V_{out}=A_{OL}(V_+-V_-)$$
完全積分回路

完全積分回路は反転増幅回路の帰還抵抗がコンデンサに置き換わったと考えることができるので、わかりやすくするため$C$をインピーダンスの$Z_C$とみなして計算していきます。

この完全積分回路の場合、$+$端子がGNDに接続されているので、$V_+$は0[V]になります。
$$V_+=0$$
以上により、完全積分回路の$V_{out}$は以下のようになります。
$$V_{out}=A_{OL}(0-V_-)=-A_{OL}V_-\cdots(1)$$
また、オペアンプの$-$端子は入力インピーダンスが高く、電流が流れ込まないことから、以下のような回路で表すことができます。

重ね合わせの理(重ね合わせの原理、重ねの理、重畳の理)により、上記の回路を2つに分割して考えると、分圧回路として簡単に$V_-$を求めることができます。

$$V_{1-}=\frac{R}{R+Z_C}V_{out}$$

$$V_{2-}=\frac{Z_C}{R+Z_C}V_{in}$$
よって、$V_-$は以下のようになります。
$$V_{-}=V_{1-}+V_{2-}$$
$$V_-=\frac{R}{R+Z_C}V_{out}+\frac{Z_C}{R+Z_C}V_{in}\cdots(2)$$
(1)式に(2)式を代入することで、$V_{out}$を計算していきます。
$$V_{out}=-A_{OL}\left(\frac{R}{R+Z_C}V_{out}+\frac{Z_C}{R+Z_C}V_{in}\right)$$
$$V_{out}=-\frac{R}{R+Z_C}A_{OL}V_{out}-\frac{Z_C}{R+Z_C}A_{OL}V_{in}$$
$$V_{out}+\frac{R}{R+Z_C}A_{OL}V_{out}=-\frac{Z_C}{R+Z_C}A_{OL}V_{in}$$
$$\frac{R+Z_C}{R+Z_C}V_{out}+\frac{A_{OL}R}{R+Z_C}V_{out}=-\frac{Z_C}{R+Z_C}A_{OL}V_{in}$$
$$\frac{R+Z_C+A_{OL}R}{R+Z_C}V_{out}=-\frac{Z_C}{R+Z_C}A_{OL}V_{in}$$
$$V_{out}=-\frac{Z_C}{R+Z_C+A_{OL}R}A_{OL}V_{in}$$
$$V_{out}=-\frac{A_{OL}Z_C}{R+Z_C+A_{OL}R}V_{in}$$
$$V_{out}=-\frac{Z_C}{R}\frac{A_{OL}}{1+\frac{Z_C}{R}+A_{OL}}V_{in}$$
$$V_{out}=-\frac{Z_C}{R}\frac{1}{\frac{1}{A_{OL}}+\frac{1}{A_{OL}}\frac{Z_C}{R}+1}V_{in}$$
$$V_{out}=-\frac{Z_C}{R}\frac{1}{\frac{1}{A_{OL}}(1+\frac{Z_C}{R})+1}V_{in}$$
ここで、$A_{OL}$は極めて大きい値(∞)であることを考えると、$\frac{1}{A_{OL}}⇒0$になります。よって、$V_{out}$は以下のようになります。
$$V_{out}=-\frac{Z_C}{R}V_{in}$$
ここまでは反転増幅回路の計算と同じでしたが、さらに$Z_C$の部分を計算します。コンデンサのインピーダンス$\frac{1}{jωC}$を$Z_C$に代入すると以下のようになります。
$$V_{out}=-\frac{\frac{1}{jωC}}{R}V_{in}=-\frac{1}{jω}\frac{1}{CR}V_{in}\cdots(3)$$
$\frac{1}{jω}$は位相が90°遅れ、周波数が高くなるほど値が低くなることを表す複素数の虚部になります。複素数は三角関数または指数関数で表すことができ、オイラーの公式により以下のような関係があります。
$$e^{jθ}=cosθ+jsinθ$$
$θ[rad], ω[rad/s], t[s]$の関係は$θ=ωt$なので、オイラーの公式は以下のように表すこともできます。$$e^{jωt}=cosωt+jsinωt$$
また、底がネイピア数$e$である指数関数は微分・積分しても変化しない性質を持っています。
$$\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}$$
$$\int e^{x}dx=e^{x}$$
そのため、$e^{jωt}$を積分すると、以下のようになります。
$$\int e^{jωt}dt=\frac{1}{jω}\int e^{jωt}d(jωt)=\frac{1}{jω}e^{jωt}$$
つまり、積分と$jω$の関係は以下のようになることがわかります。
$$\int dt=\frac{1}{jω}$$
よって、$\int dt=\frac{1}{jω}$を(3)式に代入することで最終的な$V_{out}$は以下のようになります。
$$V_{out}=-\frac{1}{jω}\frac{1}{CR}V_{in}=-\frac{1}{CR} \int V_{in}dt$$

精密計算2

完全積分回路

完全積分回路は反転増幅回路の帰還抵抗がコンデンサに置き換わったと考えることができるので、わかりやすくするため$C$をインピーダンスの$Z_C$とみなして計算していきます。

この完全積分回路の場合、$+$端子がGNDに接続されているので、$V_+$は0[V]になります。
$$V_+=0$$
さらに、$+$と$-$の端子は、仮想短絡(イマジナリショート/バーチャルショート)を通じて接続されていると考えることができます。
$$V_-=V_+=0\cdots(1)$$
また、オペアンプの$-$端子は入力インピーダンスが高く、電流が流れ込まないことから、以下のような回路で表すことができます。

重ね合わせの理(重ね合わせの原理、重ねの理、重畳の理)により、上記の回路を2つに分割して考えると、分圧回路として簡単に$V_-$を求めることができます。

$$V_{1-}=\frac{R}{R+Z_C}V_{out}$$

$$V_{2-}=\frac{Z_C}{R+Z_C}V_{in}$$
よって、$V_-$は以下のようになります。
$$V_{-}=V_{1-}+V_{2-}$$
$$V_-=\frac{R}{R+Z_C}V_{out}+\frac{Z_C}{R+Z_C}V_{in}\cdots(2)$$
(1)式に(2)式を代入することで、$V_{out}$を求めることができます。
$$0=\frac{R}{R+Z_C}V_{out}+\frac{Z_C}{R+Z_C}V_{in}$$
$$\frac{R}{R+Z_C}V_{out}=-\frac{Z_C}{R+Z_C}V_{in}$$
$$V_{out}=-\frac{Z_C}{R}V_{in}$$
ここまでは反転増幅回路の計算と同じでしたが、さらに$Z_C$の部分を計算します。コンデンサのインピーダンス$\frac{1}{jωC}$を$Z_C$に代入すると以下のようになります。
$$V_{out}=-\frac{\frac{1}{jωC}}{R}V_{in}=-\frac{1}{jω}\frac{1}{CR}V_{in}\cdots(3)$$
$\frac{1}{jω}$は位相が90°遅れ、周波数が高くなるほど値が低くなることを表す複素数の虚部になります。複素数は三角関数または指数関数で表すことができ、オイラーの公式により以下のような関係があります。
$$e^{jθ}=cosθ+jsinθ$$
$θ[rad], ω[rad/s], t[s]$の関係は$θ=ωt$なので、オイラーの公式は以下のように表すこともできます。$$e^{jωt}=cosωt+jsinωt$$
また、底がネイピア数$e$である指数関数は微分・積分しても変化しない性質を持っています。
$$\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}$$
$$\int e^{x}dx=e^{x}$$
そのため、$e^{jωt}$を積分すると、以下のようになります。
$$\int e^{jωt}dt=\frac{1}{jω}\int e^{jωt}d(jωt)=\frac{1}{jω}e^{jωt}$$
つまり、積分と$jω$の関係は以下のようになることがわかります。
$$\int dt=\frac{1}{jω}$$
よって、$\int dt=\frac{1}{jω}$を(3)式に代入することで最終的な$V_{out}$は以下のようになります。
$$V_{out}=-\frac{1}{jω}\frac{1}{CR}V_{in}=-\frac{1}{CR} \int V_{in}dt$$

ヌラーモデルを使った計算

完全積分回路

これより、理想オペアンプをヌラーモデルに置き換えて、完全積分回路を以下の通り計算してみます。

ヌラーモデルを用いることで、オペアンプの仮想短絡(イマジナリショート/バーチャルショート)の状態などを表すことができるので、計算を簡単にできるのです。

なお、ヌラーモデル自体の詳しい解説は以下の記事をご覧ください。

完全積分回路(ヌラーモデル)

見やすくするために、回路図の形を変形させます。

キルヒホッフの第1法則(電流則)より、$I_1$と$I_2$は以下の関係が成立します。
$$I_2=I_1$$
そのため、$I_2$は以下のようになります。
$$I_2=I_1=\frac{V_1}{R}=\frac{V_{in}}{R}\cdots(1)$$
また、コンデンサの端子電圧$V_2$は、コンデンサの充電電流$I_2$の積分値と$\frac{1}{C}$をかけた値になることから、以下のようになります。
$$V_2=\frac{1}{C} \int I_2dt\cdots(2)$$
(2)式に(1)式を代入すると、完全積分回路の関係式を求めることができます。
$$V_2=\frac{1}{C} \int I_2dt=\frac{1}{C} \int \frac{V_{in}}{R}dt=\frac{1}{CR} \int V_{in}dt$$
$$V_{out}=-V_2=-\frac{1}{CR} \int V_{in}dt$$
このように、ヌラーモデルを用いた完全積分の等価回路から、関係式を算出することができました。

その他のオペアンプの回路例

当記事では、「オペアンプの積分回路」について詳しく解説してきましたが、その他にもオペアンプには様々な回路が存在します。

以下の記事で、比較的よく使われるオペアンプの回路について紹介しているので、ぜひご覧ください。